Linear Combination
기초부터 차근차근 배우지 않았기 때문에, 가장 기본적인 개념부터 흔들흔들. 정확히 이해가 안되니, 인식이 안되었다.
예를 들어 이런 표현,
어떤 벡터 V1, V2, V3가 있을 때, 이들의 선형 조합이 C1*V1 + C2*V2 + C3*V3 이라고 하자.
그냥 눈으로 슥 읽으면 알듯한데, 조금만 복잡해지면 여기서 부터 이해가 부족했다는 생각..
손으로 써서 천천히 생각해보면 C1,2,3 계수를 곱해서 더하는 행위가 선형조합.
1,2,3이 결국 똑같은 말을 다른 방식으로 표현한 것임!
Linearly independent / dependent
- 벡터 X1, X2, X3 ... Xn 이 있을 때, 모든 계수(coefficient)가 0인 경우를 제외하고 어떠한 선형 조합(Linear combination)으로도 0을 만들 수 없다면. 이 벡터들은 독립이다.
- 위의 경우 C1*V1 =0, C2*V2 = 0, C3*V3 = 0 을 만족하려면 C가 모두 0 밖에 없음!
- free variable이 존재하지 않음
- m by n matrix에서 n>m 이면, row수 보다 column 수가 크면 = 미지수가 방정식의 갯수보다 많다. 이 경우 Ax=0에 대한 0이 아닌 해가 존재 하고, 이들은 종속이다.
- 위의 경우처럼 free variable이 생기기 때문에 종속!
Span
v1 = [1,2], v2 = [4,5] 가 있을 때, span는 두 벡터들의 선형조합으로 형성할 수 있는 공간. span a space!
벡터 V1, V2, V3 ,,, Vn 의 가능한 모든 선형조합 linear combination으로 공간을 형성하는 것. 조합되는 벡터에 따라서 Rn space가 될 수 도 있고, 만약 벡터들이 서로 dependent하다면, subspace가 될 수도 있다.
Basis 기저
벡터 공간의 기저(basis)는 공간 전체를 span 하는 선형 독립인 벡터의 집합.
- 그래서, 두 가지 속성
- basis vector는 independent
- basis vector는 공간 전체를 span
- 가장 위의 필기에서 처럼 R3 space 의 단위행렬이 R3 space의 유일한 basis는 아니다.
- 3차원 벡터 세 개로 구성되면서 서로 독립인 어떠한 백터도 R3의 기저가 될 수 있다.
어떤 벡터가 N차원의 기저 벡터인지 판별하기 위해서. 벡터들을 어떤 matrix의 column vector로 만들고, 가우스 소거를 통해 echelon form을 만든다. 그리고 이 행렬이 free variable을 갖는지, 혹은 모든 각 column vector가 pivot을 가지고 있는지 확인한다.
Projection 정사영
벡터 a 에 벡터 V가 얼마나 영향을 주나? 의 개념으로 생각해도 좋을것 같다.
역시 수학은,, 눈으로 봐서는 전혀 이해가 되지 않는다..
선형대수는 지속적인 공부가 필요하겠다. 여러 강의를 중복으로 보면서, 손으로 정리해서 나만의 언어로 설명하도록 해보자.
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